Zadaci za ponavljanje (osnove) - 1. polugodište
1. ZADATAK
(i.)Prevedite zadane rečenice na jezik logike pojmova. (ii.)Na istom jeziku izrazite njima istovrijednu (ili istovrijedne) rečenice, te (iii.) navedite njima protuslovnu rečenicu!
Ključ tumačenja:
Vxy za 'x voli y'
p za Petar
i za Ivan
l za logika
(u rješenjima su ponuđena neka od mnoštva mogućih!)
a. Petar voli logiku samo ako je Ivan ne voli.
rješenje
Vpl → ¬Vil
(≡) Vil → ¬Vpl ; (⊥) Vpl ∧ Vil
b. Petar ne voli logiku samo ako je Ivan voli.
rješenje
¬Vpl → Vil
(≡) ¬Vil → Vpl; (⊥) ¬Vpl ∧ ¬Vil
c. Petar ne voli logiku ako je Ivan ne voli.
rješenje
¬Vil → ¬Vpl
(≡) Vpl → Vil ; (⊥) ¬Vil ∧ Vpl
d. Ako Petar ne voli logiku, ne voli je ni Ivan.
rješenje
¬Vpl → ¬Vil;
(≡) Vil → Vpl ; (⊥) ¬Vpl ∧ Vil
e. Petar ne voli logiku ili je Ivan voli.
rješenje
¬Vpl ∨ Vil;
(≡) Vpl → Vil; (⊥) Vpl ∧ ¬Vil
f. Nije slučaj da i Petar i Ivan vole logiku.
rješenje
¬(Vpl ∧ Vil)
(≡) ¬Vpl ∨ ¬Vil ; (⊥) Vpl ∧ Vil
g. Nije slučaj da Petar voli logiku ili da je Ivan ne voli.
rješenje
¬(Vpl ∨ ¬Vil)
(≡) ¬Vpl ∧ Vil; (⊥) ¬Vpl → ¬Vil
2. ZADATAK
2. Odgovorite za svaki od sudova je li istinit, neistinit, ili mu ne možemo utvrditi istinitinosnu vrijednost uzimajući u obzir ono što o nekom njegovom dijelu znademo!
2.1. Znademo da Petar voli logiku
a. Petar voli logiku samo ako je Ivan ne voli.
b. Petar voli logiku samo ako je Ivan voli.
c. Ivan voli logiku samo ako je Petar voli.
d. Ivan voli logiku samo ako je Petar ne voli.
e. Samo ako Ivan ne voli logiku, Petar je ne voli.
f. Samo ako Ivan voli logiku, Petar je ne voli.
rješenja
a.?; b.?; c.i; d.?; e.i; f.i
2.2. Znademo da Ivan ne voli logiku
a. Ivan voli logiku ako je Petar voli.
b. Petar voli logiku ako je Ivan voli.
c. Ivan ne voli logiku ako je Petar voli.
d. Ivan ne voli logiku ako je Petar ne voli.
e. Ako Ivan ne voli logiku, onda Petar voli logiku.
f. Ako Ivan ne voli logiku, ne voli je ni Petar.
rješenja
a.?; b.i; c.i; d.i; e.?; f.?
2.3. Znademo da Ivan voli logiku
a. Petar voli logiku ili je voli Ivan.
b. Ni Petar ni Ivan ne vole logiku.
c. Petar ne voli logiku, no Ivan je voli.
d. Ivan ne voli logiku ili je ne voli Petar.
e. Nije slučaj da ni Ivan ni Petar ne vole logiku.
f. Nije slučaj da ne voli logiku Ivan ili da je ne voli Petar.
rješenja
a.i; b.n; c.?; d.?; e.i; f.?
3. ZADATAK
Sljedeće rečenice prevedite na jezik logike prvoga reda, te svakoj odredite po jednu istovrijednu i po jednu protuslovnu rečenicu!
[Podsjetnik: Sjetite se da isti logički oblik u običnom jeziku možemo izraziti na različite načine. Tako su npr. sve sljedeće rečenice jednakog logičkog oblika:
Svi nastavnici su razumni.
Svaki je nastavnik razuman.
Tko je nastavnik, razuman je.
Tkogod je nastavnik, razuman je.
Ako je netko nastavnik, onda je razuman.
Netko je nastavnik samo ako je razuman.
Samo razumni su nastavnici.]
Ključ tumačenja:
Nx za 'x je nastavnik'
Rx za 'x je razuman'
domena (predmetno područje): svi ljudi
a. Svi nastavnici su razumni.
rješenje ∀x(Nx → Rx)
(≡) ∀x(¬Rx → ¬Nx ) ; (⊥) ∃x(Nx ∧ ¬Rx)
(Nitko nerazuman nije nastavnik) (Neki nastavnici nisu razumni)
b. Nijedan nastavnik nije razuman.
rješenje ∀x(Nx → ¬Rx)
(≡) ∀x(Rx → ¬Nx ) ; (⊥) ∃x(Nx ∧ Rx)
(Nitko razuman nije nastavnik) (Neki su nastavnici razumni)
c. Svi razumni su nastavnici.
rješenje ∀x(Rx → Nx)
(≡) ∀x(¬Nx → ¬Rx ) ; (⊥) ∃x( Rx∧ ¬Nx)
(Tko nije nastavnik, nije ni razuman) (Netko razuman nije nastavnik)
d. Nitko razuman nije nastavnik.
rješenje ∀x(Rx → ¬Nx)
(≡) ∀x(Nx → ¬Rx ) ; (⊥) ∃x(Nx ∧ Rx)
(Tko je nastavnik, nije razuman) (Neki su nastavnici razumni)
e. Neki nastavnici su razumni.
rješenje ∃x(Nx ∧ Rx)
(≡) ∃x(Rx ∧ Nx) ; (⊥) ∀x(Nx → ¬Rx )
(Neki razumni su nastavnici) (Tkogod je nastavnik nije razuman)
f. Neki nastavnici nisu razumni.
rješenje ∃x(Nx ∧ ¬Rx)
(≡) ∃x(¬Rx ∧ Nx) ; (⊥) ∀x(Nx → Rx )
(Postoji bar jedan nerazumni nastavnik) (Svaki je nastavnik razuman)
g. Neki razumni nisu nastavnici.
rješenje ∃x(Rx ∧ ¬Nx)
(≡) ∃x(¬Nx ∧ Rx) ; (⊥) ∀x(Rx → Nx )
(Neki koji nisu nastavnici jesu razumni) (Tkogod je razuman, nastavnik je.)
h. Netko nije nastavnik niti je razuman.
rješenje ∃x(¬Nx ∧ ¬Rx)
(≡) ∃x(¬Rx ∧ ¬Nx) ; (⊥) ∀x(¬Nx → Rx)
(Postoji bar jedan nerazuman koji nije nastavnik) (Tkogod nije nastavnik, razuman je.)
4. ZADATAK
Odgovorite za svaki od sudova je li istinit, neistinit, ili mu ne možemo utvrditi istinitinosnu vrijednost uzimajući u obzir ono što znademo!
4.1. Znademo da je prof. G. nerazuman nastavnik.
a. Svi nastavnici su razumni
b. Nijedan nastavnik nije razuman
c. Svi razumni su nastavnici
d. Nitko razuman nije nastavnik
e. Neki nastavnici su razumni
f. Neki nastavnici nisu razumni
g. Neki razumni nisu nastavnici
h. Netko nije nastavnik niti je razuman
rješenja
a.n; b.?; c.?; d.?; e.?; f.i; g.?; h.?
4.2. Znademo da je prof. K. razuman nastavnik.
a. Svi nastavnici su razumni
b. Nijedan nastavnik nije razuman
c. Svi razumni su nastavnici
d. Nitko razuman nije nastavnik
e. Neki nastavnici su razumni
f. Neki nastavnici nisu razumni
g. Neki razumni nisu nastavnici
h. Netko nije nastavnik niti je razuman
rješenja
a.?; b.n; c.?; d.n; e.i; f.?; g.?; h.?
5. ZADATAK
(i.) Prevedite rečenice na običan jezik, te izrazite njima
protuslovne rečenice jezikom logike predikata i običnim jezikom!
Ključ prevođenja:
Pxy za 'x priča o y-nu'
domena (područje primjene): svi ljudi
a. ∀x∀y Pxy
rješenja
Svatko priča o svakome. (⊥) ∃x∃y ¬Pxy (Netko o nekome ne priča)
b. ∀x∃y Pxy
rješenja
Svatko priča o nekome. (⊥) ∃x∀y ¬Pxy (Netko ni o kome ne priča)
c. ∃x∀y Pxy
rješenja
Netko priča o svakome. (⊥) ∀x∃y ¬Pxy (Nitko o nekome ne priča)
d. ∃x∃y Pxy
rješenja
Netko priča o nekome. (⊥) ∀x∀y ¬Pxy (Nitko ni o kome ne priča)
e. ∀x∀y ¬Pxy
rješenja
Nitko ni o kome ne priča. (⊥) ∃x∃y Pxy (Netko priča o nekome)
f. ∀x∃y ¬Pxy
rješenja
Nitko o nekome ne priča. (⊥) ∃x∀y Pxy (Netko priča o svakome)
g. ∃x∀y ¬Pxy
rješenja
Netko ni o kome ne priča. (⊥) ∀x∃y Pxy (Svatko o nekome priča)
h. ∃x∃y ¬Pxy
rješenja
Netko o nekome ne priča. (⊥) ∀x∀y Pxy (Svatko priča o svakome)
(ii.) Prevedite rečenice na običan jezik, te izrazite njima
istovrijedne rečenice jezikom logike predikata i običnim jezikom!
a. ¬∀x∀y ¬Pxy
rješenja
Nije slučaj da nitko ni o kome ne priča. (≡) ∃x∃y Pxy (Netko priča o nekome.)
b. ¬∀x∃y ¬Pxy
rješenja
Nije da nitko o nekome ne priča. (≡) ∃x∀y Pxy (Netko o svakome priča)
c. ¬∃x∀y ¬Pxy
rješenja
Nije da netko ni o kome ne priča. (≡) ∀x∃y Pxy (Svatko priča o nekome)
d. ¬∃x∃y ¬Pxy
rješenja
Nije slučaj da netko o nekome ne priča. (≡) ∀x∀y Pxy (Svatko priča o svakome.)
6. ZADATAK
Prevedite na jezik logike predikata i običnim jezikom izrazite sudove protuslovne zadanima! (u drugome dijelu zadatka nalaze se teži podzadaci)
Ključ tumačenja:
Ux za ‘x je učenik’
Nx za ‘x je nastavnik’
Mxy za ‘x je mudriji od y’
Sxy za ‘x je stariji od y’
s za Slavko
m za Mirko
a. Učenik Mirko nije stariji od sebe.
rješenja
Um ∧ ¬ Smm (⊥) Mirko nije učenik ili je stariji od sebe.
b. Nastavnik Mirko nije mudriji od učenika Slavka.
rješenja
Nm ∧ ¬ Mms ∧ Us (⊥) Mirko nije nastavnik ili je mudriji od Slavka, ili Slavko nije učenik.
c. Iako je Mirko stariji od Slavka, nije mudriji od njega.
rješenja
Sms ∧ ¬ Mms (⊥) Mirko nije stariji od Slavka ili je mudriji od njega.
d. Bilo da je Mirko nastavnik, bilo da je to Slavko, drugi je mudriji od prvoga.
rješenja
(Nm ∨ Ns) → Msm (⊥) Mirko je nastavnik ili je to Slavko, i Slavko nije mudriji od Mirka.
e. Mirko je mudriji od Slavka.
rješenja
Mms (⊥) Mirko nije mudriji od Slavka.
f. Mirko je mudriji od učenika Slavka.
rješenja
Mms ∧ Us (⊥) Mirko nije mudriji od Slavka ili Slavko nije učenik.
g. Netko je mudriji od učenika Slavka.
rješenja
∃xMxs ∧ Us (⊥) Nitko nije mudriji od Slavka ili Slavko nije učenik.
h. Netko je mudriji od nekog učenika.
rješenja
∃x∃y (Mxy ∧ Uy) (⊥) Nitko ni od jednog učenika nije mudriji .
i. Netko je mudriji od svakoga učenika.
rješenja
∃x∀y(Uy → Mxy) (⊥) Nitko od nekog učenika nije mudriji .
j. Svatko je mudriji od nekog učenika.
rješenja
∀x∃y(Mxy ∧ Uy) (⊥) Netko niti od jednog učenika nije mudriji.
k. Svatko je mudriji od svakoga učenika.
rješenja
∀x∀y (Uy → Mxy) (⊥) Netko od nekog učenika nije mudriji.
ili ∀x(Ux → ∀yMyx)
l. Netko ni od jednog učenika nije mudriji.
rješenja
∃x∀y(Uy → ¬ Mxy) (⊥) Svatko je od nekog učenika mudriji.
m. Svaki je učenik od nekoga mudriji.
rješenja
∀x(Ux → ∃yMxy) (⊥) Postoji učenik koji ni od koga nije mudriji.
n. Neki učenici ni od koga nisu mudriji.
rješenja
∃x(Ux ∧ ∀y ¬ Mxy) (⊥) Svaki je učenik od nekoga mudriji.
o. Neki su učenici mudriji od nekih koji su od njih stariji.
rješenja
∃x∃y(Ux ∧ Mxy ∧ Syx) (⊥) Tkogod je mudriji od onog koji je od njega stariji, nije učenik.
p. Tkogod je stariji od nekoga od njega je i mudriji.
rješenja
∀x∀y(Sxy → Mxy) (⊥) Netko je od nekoga stariji, no nije i mudriji.
r. Svatko je mudriji od nekih nastavnika.
rješenja
∀x∃y (Ny ∧ Mxy) (⊥) Netko ni od jednoga nastavnika nije mudriji.
7. ZADATAK
7.1. Povežite iskaze s lijeve strane (i.) s njima istovrijednim iskazima na desnoj ako ih ima, te (ii.) s njima protuslovnim iskazima!
| 1. (P ∧ Q) → R | a. ¬R → (¬P ∨ ¬Q) |
| 2. P ∧ (¬Q ∨ ¬R) | b. ¬(P ∧ ¬(Q ∧ R)) |
| 3. P ∧ Q ∧ ¬R | c. ¬R → ¬(P ∧ Q) |
| 4. P → (Q ∧ R) | d. ¬ P ∨ (Q ∧ R) |
| e. ¬(P ∧ Q ∧ ¬R) |
| f. ¬(P ∧ ¬(Q → R) |
| g. (Q → ¬R) → ¬P |
| h. P → (Q → R) |
| i. (¬P ∨ ¬Q) ∨ R |
| j. (¬Q ∨ ¬R) → ¬P |
| k. ¬(P ∧ Q) ∨ R |
| l. ¬(Q ∧ R) → ¬P |
rješenja i obrazloženja
Istovrijedni:
1. - a,c,e,f,h,i,k
2. - nema
3. - nema
4. - b,d,g,j,l
Protuslovni:
Uočite da je 3. protuslovan 1. Stoga će njemu protuslovni biti svi oni koji su 1. istovrijedni.
Uočite da je 2. protuslovan 4. Stoga će njemu protuslovni biti svi oni koji su 4. istovrijedni.
1. i 4. nemaju suda s lijeve strane koji bi im bio protuslovan, kao što i njima protuslovni sudovi nemaju sebi istovrijedne sudove s lijeve strane.
Obrazloženje (crvenom su bojom označeni dijelovi koji se u sljedećem koraku mijenjaju, a s desne strane u sljedećem koraku stoje pravila prema kojima se mijenjaju):
| 1. (P ∧ Q)→ R | |
| (k) ¬(P ∧ Q) ∨ R | (svođenje → na ∨) |
| (i) (¬P ∨ ¬Q) ∨ R | (de Morgan) |
| (h) P → (Q → R) | (svođenje ∨ na →) |
| (f) ¬(P ∧ ¬(Q → R)) | ((p → q) ≡ ¬(p ∧ ¬q)) |
| (e) ¬(P ∧ Q ∧ ¬R) | (¬(p → q) ≡ (p ∧ ¬q)) |
| (c) ¬R → ¬(P ∧ Q) | (kontrapozicija iz 1.) |
| (a) ¬R → (¬P ∨ ¬Q) | (de Morgan) |
| 4. P → (Q ∧ R) | |
| (l) ¬(Q ∧ R) → ¬P | (kontrapozicija) |
| (j) (¬Q ∨ ¬R) → ¬P | (de Morgan) |
| (g) (Q → ¬R) → ¬P | (svođenje ∨ na →) |
| (d) ¬ P ∨ (Q ∧ R) | (tu su dva koraka - prvo svođenje → na ∨, a zatim ¬(p → q) ≡ (p ∧ ¬q) |
| (b) ¬(P ∧ ¬(Q ∧ R)) | (de Morgan) |
| |
7.2. Što o elementarnim iskazima (rečenicama, sudovima) zadanih iskaza (1-4) možemo znati ako znademo da je/su:
a. P istinit
b. P i Q istiniti
c. P, Q i R istiniti
d. R neistinit
e. R i Q neistiniti
f. R, Q i P neistiniti
7.3. Koja je od zadanih rečenica
sigurno (a koja može biti) istinita, te koja je
sigurno (a koja može biti) neistinita pod sljedećim ključevima tumačenja:
a. P za 'Željko je u Zagrebu'; Q za 'Željko je na Trešnjevci'; R za 'Željko je u Hrvatskoj'
b. P za 'Željko je u Hrvatskoj'; Q za 'Željko je u Zagrebu'; R za 'Željko je na Trešnjevci'
c. P za 'Željko je na Trešnjevci'; Q za 'Željko je u Zagrebu'; R za 'Željko je u Hrvatskoj'
*************